Saymanin Temel Kurallari

Saymanin Temel Kurallari

EŞLEME YOLU İLE SAYMA


Bir kümenin eleman sayısını;kümenin elemanları ile sayma sayıları kümesinin elemanları arasında birebir eşlem yaparak bulmaya denir.

B)TOPLAMA YOLU İLE SAYMA


A ve B eleman sayıları sonlu olan iki ayrık küme olsun.
S(A)= m ve s(B) = n Þ s(AÈB)= s(A) +s (B) dir.

Buna göre, ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m+n yolla yapılabilir.

Örnek :

Farklı özellikte, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı kaç yolla seçilebilir?

Çözüm :

Matematik kitapları m1, m2,m3 ve kimya kitapları k1,k2,k3,k4,k5 olsun.Bu durumda,matematik kitapları kümesi A={m1,m2,m3} ve kimya kitapları kümesi B={k1,k2,k3,k4,k5} tir.
1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme ise AÈB={m1,m2,m3, k1,k2,k3,k4,k5} tir.

Kolayca görüleceği gibi 1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme 3+5=8 elemanlıdır.Yani seçme 8 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı 3+5=8 yolla seçilebilir.

Örnek :

Bir lisenin birinci sınıfında 100,ikinci sınıfında 200 ve üçüncü sınıfında 300 öğrenci vardır.Bu lisede toplam öğrenci sayısı nedir?

Çözüm :

L Ç L= Æ, L Ç L =Æ dir.
S(LÈ LÈ L ) =s(L) +s(L)+ s(L)
=100+200+300=600 olur.






3)ÇARPMA YOLU İLE SAYMA

n tane elemandan oluşan
(a1,a2,a3,.....,an) ifadesine sıralı n li denir.

Benzer şekilde (a,a)... sıralı ikili
(a1,a2,a3)... sıralı üçlü
...............................................
olarak adlandırılır.
A ve B sonlu iki küme olsun.
S(A)= m ve s(B)= n Þ s(Ax B) = s(A). S(B) dir. AxB kümesi birinci bileşeni A dan,ikinci bileşeni B den alınan ikililerden oluşmaktadır.

O halde, ilk işlem m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek :
Farklı özellikte 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı kaç yolla seçilebilir?
Çözüm:
Matematik kitapları m1,m2 ve f1,f2,f3, olsun.Bu durumda matematik kitaplarının kümesi A={m1,m2} ve fizik kitaplarının kümesi B={f1,f2,f3} tür.
1 matematik ve 1 fizik kitabından oluşan matematik ve fizik kitabı ikilisinin seçeceği küme ise ;
A x B = {(m1,f1)} , {(m1,f2) , (m1,f3) , (m2,f1) , (m2,f2) , (m2,f3)} tür.

Kolayca görüleceği gibi Ax B kümesi 2.3=6 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı 2.3=6 yolla seçilebilir.

Örnek:
Bir spor salonunda 20 sıra ve her sırada 30 koltuk vardır.Bu spor salonu kaç kişiliktir?

Çözüm:
Her sırada 30 koltuk olduğundan 20 sırada toplam 20x30=600 kişi vardır.

SIRALI “n” LİLER


N ={1,2,3,4,.........} olmak üzere
a1,a2,a3,.......an ile gösterilen n tane nesneden oluşturulan (a1,a2,a3,......,an) gösterimine sıralı n li denir.

(a1,a2)...........sıralı ikili
(a1,a2,a3).........sıralı üçlü
(a1,a2,a3,a4)........sıralı dörtlü
.
.
(a1,a2,a3,................,an)........ sıralı “n” lidir.





Örnek:


A={1,2},A={1,2,3} kümeleri veriliyor.a ÎA , a Î A olmak üzere,

a) (a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı ikililerin sayısını bulunuz.
b) (a,a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı üçlülerin sayısını bulunuz.


Çözüm:
a) (a,a) E AxA olmak üzere

s(A)=2 ise s(AxA) = s(A) x s(A)
s(A)=3 =2 x3
=6 tanedir.
b)(a,a,a) E AxAxA olmak üzere

s(A) = 2
s(A) = 3 Þ s(A,A,A) = s(A) x s(A) x s(A)
s(A) = 4 =2 x 3 x 4
=24 tenedir.
SAYMANIN TEMEL İLKESİ


Ard arda yapılabilen r tane işten birindi iş n1 değişik şekilde,ikinci iş n2 değişik şekilde,üçüncü iş n3 değişik şekilde,......,r inc işe ise nr değişik şekilde yapılabiliyorsa bu işlerin bileşiminden oluşan iş;n1,n2,n3,...,nr değişik şekilde yapılabilir.

Örnek :

A kenti ile B kenti arasında 2 değişik yol,B ile C kenti arasında ise 5 değişik yol vardır.A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse B den geçmek koşulu ile;

a) Kaç değişik yol ile A şehrinden C şehrine gidebilir?

b) A şehrinden C şehrine kaç değişik yol ile gidip dönebilir?

c) Kullandığı yolu bir kez daha kullanmamak koşulu ile C şehrine kaç değişik yoldan gidip gelebilir?





Çözüm :

a) Bir kimse A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini B den C ye gitmek için de 5 farklı yoldan birini kullanmak zorundadır.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye, B ye uğrayarak 2.5= 10 değişik biçimde gidebilir.


b) A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini, B şehrinden C şehrine gitmek içinde 5 farklı yoldan birini seçebilir.C şehrinden B şehrine geri dönerken 5 farklı yoldan biri, b den a ya dönerken de 2 farklı yoldan birini seçebileceğinden A dan C ye 2.5.5.2 = 100 değişik biçimde gidip ve gelebilir.

c) Adan C ye 2.5 = 10 farklı şekilde gidebilir C şehrinden B şehrine geri dönerken gidişte yollardan biri kullanıldığından geriye kalan 5- 1 =4 farklı yolun biri ve B den A ya dönerken de gidişte yollardan biri kullanıldığından geri kalan (2-1) =1 farklı yoldan biri kullanılır.Öyleyse C den A ya dönüş 4.1 = 4 değişik biçimde olur.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye gidiş ve dönüş 2.5.4.1=40 değişik biçimde olur.


Örnek :

4 gömleği ve 5 eteği olan bir kimse kaç farklı biçimde giyinebilir?

Çözüm :

Gömleklerin kümesi G={g1,g2,g3,g4} ve eteklerin kümesi E={e1,e2,e3,e4,e5} olsun.Bu kimsenin bir eleman G kümesinden ve bir elemanda E kümesinden alarak giyinmesi gerekir.Buna göre;

S(GxE) = s(G) . s(E)
= 4 . 5
= 20 farklı biçimde giyinebilir.


Örnek :

Bir öğrencinin sınavı geçebilmesi için önce ilk 6 sorudan birini daha sonra başka 3 sorudan birini cevaplaması gerekmektedir.Bu öğrenci cevaplayacağı soruların kaç değişik şekilde seçebilir?

Çözüm :

Öğrenci cevaplaması gereken toplam 2 sorudan birincisine ilk 6 soru arasından 6 şekilde ikincisini ise son 3 soru arasından, 3 şekilde seçebileceğinden cevaplayacağı soruları 6 . 3 = 18 şekilde seçebilir.