KÖKLÜ İFADELER

KÖKLÜ İFADELER


Üslü ifadelerde negatif veya pozitif reel sayıların tam sayı olan kuvvetlerini tanımlamıştık. Bir üslü ifadenin değerini bulmayı biliyoruz.

Örneğin;(-2)2=(-2).(-2)=4, (2)=2.2=4 tür.

Burada karesi 4 olan iki reel sayı vardır. Bunlardan negatif olanı (-2), pozitif olanı da (+2) dir. Bunun gibi karesi 9 olan sayılar (-3) ve (+3) tür. Fakat karesi -4 ve -3 olan reel sayı yoktur. Genelleyecek olursak; "xÎR+ için karesi x olan biri negatif diğeri pozitif iki reel sayı vardır. Değeri ve üssü verilen üslü ifadelerin tabanını bulma işlemine kök alma işlemi denir.

TANIM:karesi aÎR+ e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir. Negatif karekök “-Öa”; pozitif karekök “Öa” ile gösterilir. Yani(Öa)2=(-Öa)2=a dır.
Örneğin; x2=16 nın pozitif karekökü x=Ö16=4, negatif karekökü x=-Ö16=-4
(Öa)2=Öa2 ifadesi bazen “a” ya eşit değildir. Örneğin;
Öa2 ifadesi daima pozitiftir. Öa2³0 olur.
Ö4=2 nin doğru olduğuna, Ö4=-2 nin yanlış olduğuna dikkat ediniz.

Teorem:bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir.
"xÎR için Öx2=½x½ tir.

İspat;
x³0 için ½x½ve Öx2 =x tir. o halde, Öx2 =½x½olur.
x<0 için ½x½=-x ve Öx2 =-x tir. (-x>0) o halde, Öx2 =½x½olur.
Örnek: x<2 ise Öx2 -4x+4 ifadesi neye eşittir?
Çözüm: Öx2 -4x+4 = Ö(x-2)2 = ½x-2½(Öx2 =½x½)
X<2 ise x-2<0 olur. Bu durumda, ½x-2½=-(x-2)=-x+2 bulunur.
Örnek: x<0Çözüm: Öx2 = ½x½, Öy2 =½y½ ve Ö(x-y)2 =½x-y½ dir.
X<0 Þ½x½=-x
Y<0 Þ½y½=y
XÖyleyse, Öx2+Öy2-Ö(x-y)2 =½x½+½y½-½x-y½=-x+y+x-y=0 bulunur.
Örnek: 3Çözüm: Öx2-8x+16 =Ö(x-4)2 =½x-4½, Öx2-6x+9 =Ö(x-3)2 =½x-3½ tür.
X<4 Þ x-4<0 olup ½x-4½=-x+4 ve
x>3 Þ x-3>0 olup ½x-3½=x-3 olur.
x>3 Þ½3-x½=-3+x tir.
Öx2-8x+16 +Öx2-6x+9 -½3-x½=½x-4½+½x-3½-½3-x½=-x+4+x-3-(-3+x)
=1+3-x=4-x bulunur.






KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ



Kareköklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için kök içindeki terimler benzer olmalıdır. Benzer olan terimlerin kat sayıların toplamı veya farkı, o terimlere kat sayı olarak yazılır.

aÖb -cÖb +dÖb =Öb(a-c+d) olur.

Örnekler:

3Ö3-4Ö3+7Ö3=(3-4+7).Ö3
Ö75 -2Ö48 -3Ö27 =2Ö25.3 -2Ö16.3 -3Ö9.3 =2.5Ö3 -2.4Ö3 -3.3Ö3
=10Ö3 -8Ö3 -9Ö3 =(10-8-9)Ö3 =-7Ö3
Ö5/3+2Ö5-3Ö5/2 =(1/3+2-3/2)Ö5 =(2+12-9/6)Ö5 =5/6Ö5


EŞLENİK İFADELERİN ÇARPIMI


a,bÎR+ için
1. Öa nın eşleniği Öa dır.
2. Öa +Öb nin eşleniği Öa-Öb dir.

Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir. Eşlenik iki ifadenin çarpımı, birinci terimin karesinden ikinci terimin karesinin farkına eşittir. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılırsa,

(Öa+Öb)(Öa-Öb)=Öa(Öa-Öb)+Öb(Öa-Öb)=a-Öab +Öab –b=a-b olur.

Örnek:

(Ö5 -2Ö3)(Ö5 +2Ö3)= Ö5(Ö5 +2Ö3)-2Ö3(Ö5 +2Ö3)=5+2Ö15 -2Ö15 -4.3=-7
(4+2Ö7)(4-2Ö7)=42-(2Ö7)2=16-28=-12
(x+Ö5)(x-Ö5)=(x2)-( Ö5)2=x2-5 olur.



PAYDAYI RASYONEL YAPMA


Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapmak için paydanın eşleniği ile pay ve paydayı çarparız.

Örnek:
3/Ö3=3. Ö3/Ö3. Ö3=3Ö3/Ö32=Ö3
1/Ö5-Ö3=1.( Ö5+Ö3)/ (Ö5-Ö3)( Ö5+Ö3)= Ö5+Ö3/(Ö5)2-(Ö3)2=Ö5+Ö3/5-3=Ö5+Ö3/2
7/2Ö2-1=7(2Ö2+1)/(2Ö2-1)(2Ö2+1)=7(2Ö2+1/(2Ö2)2-(1)2=7(2Ö2+1)/8-1=7(2Ö2+1)/7
=2Ö2+1




KAREKÖKLÜ BİR İFADENİN SADELEŞTİRİLMESİ



Örnek: (Öa3)6.( Öa-3)4 ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm: a-3=1/a3 yazılabileceğini biliyoruz.(x-n=1/xn kuralına göre)
(Öa3)6.( Ö1/Öa3)4=Öa18. Ö1/Öa12=Öa18.1/a12=Öa6=Ö(a3)2 =½a3½ bulunur.

Örnek: Öab-3c-2 . Öab5c3 ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm: Öab-3c-2 . Öab5c3 =Öa2b5c3/Öb3c2 =Öa2b2c =½ab½.Öc bulunur.



KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN ÇARPIMI


a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa.Öb=Öa.b dir.
Kareköklü iki terimin çarpımı, bu terimlerin çarpımının kareköküne eşittir.

Örnek:
Ö3. Ö5 =Ö3.5 =Ö15
2Ö3. 3Ö2 =(2.3). Ö3.2 =6Ö6
Ö3. Ö6. Ö2 =Ö3.6.2 =Ö36 =6



KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN BÖLÜMÜ


a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa/Öb =ÖA/B dir.
Kareköklü iki terimin bölümü, bu terimlerin bölümünün kareköküne eşittir.

Örnek:
Ö60 /Ö15 =Ö60/15 =Ö4 =2
Öx7/Öx5=Öx7/x5 =Öx2 =½x½
Ö21/Ö7 =Ö21/7=Ö3



KAREKÖKLÜ BİR TERİMİN n. KUVVETİ


Kareköklü bir terimin “n.” Kuvveti bulunurken, verilen ifadenin karekökü alınarak terimin “n.” Kuvveti bulunur ve ele edilen terimin karekökü alınır.
xÎR+ ve n ÎZ+ olmak üzere, (Öx)n=Öxn ir.

İspat: xÎR+, nÎZ+ için Öx in “n.” Kuvveti,
(Öx)n=Öx. Öx. Öx…Öx=Öx.x.x…x =Öxn olur.

Örnek:
(Ö5)4=Ö54=Ö(52)2=52=25
(Ö3)3.( Ö6)5=Ö33 . Ö65 =Ö33(2.3)5 . Ö33.25.35 =Ö38.25
=Ö(34)2.(22)2.2=34.22. Ö2 =324Ö2
(Ö1/2)-4=Ö1/2-4 =Ö24 =Ö(22)2 =22 =4...

REEL SAYILARIN RASYONEL KUVVETİ

Tanım: a³0 reel sayısı verilsin. n ÎZ+ için xn=a olacak şekilde bir xÎR+ sayısı varır.
Bu sayıyı a nın “n.” Kuvvetten kökü denir ve xn =a Û x=nÖa biçimine gösterilir.

x2=m eşitliğini gerçekleyen x=Öm değerine, karekök m,
x3=m eşitliğini gerçekleyen x=3Öm değerine, küpkök m,
x4=m eşitliğini gerçekleyen x=4Öm değerine, 4. dereceden kök m denir.

Şimdide nÖam biçimindeki bir ifadeyi üslü şekle yazalım. m=k.n alalım:

nÖam =nÖan.k =nÖ(ak)n =ak dır.

m=k.n Þk=m/n dir. ak da k yerine m/n yazalım. ak =am/n bulunur. O halde, nÖam=am/n dir.

örnek:
Öx =x1/2
3Öx2 =x2/3
4Ö(x+y)3 =(x+y)3/4

köklü bir terimi üslü biçimde yazarken, terimin üssü pay, kökün derecesi payda alınarak elde edilen rasyonel sayı verilen terime üs olarak yazılır.

xn=a denkleminde n tek doğal sayı ise çözüm kümesi: x=nÖa dir.
xn=a denkleminde n çift doğal sayı ise çözüm kümesi: x=±nÖa dır.

öyleyse, x=nÖa ifaesi,

n tek doğal sayı ve x reel sayıdır.
n çift doğal sayı ve a³0 ise x reel sayıdır.
n çift doğal sayı ve a<0 ise x reel sayı değildir.

7Ö-128, 3Ö-27, 5Ö-1 sayıları reel sayıdır.
Ö25, 4Ö16, 4Ö8 sayıları reel sayılardır.
Ö-1, Ö-4, Ö-9 sayıları reel sayı değildir.


KÖKLÜ BİR TERİMİN KUVVETİ

nÖa gibi köklü bir terimin “m.” Kuvveti, (nÖa)m = nÖa.nÖa.nÖa…nÖa = nÖa.a.a…a =nÖam olur.
Öyleyse, (nÖa)m = nÖam dir.

Örnek:
(3Öx.y)2 =3Ö(x.y)2 =3Öx2.y2
(3Öa)4=3Öa4 =3Öa3.a=a3Öa (nÖan.b=anÖb dir. )
(5Ö4)3 =5Ö43=5Ö(22)3 =5Ö26=5Ö25.2 =25Ö2


KÖKLÜ BİR TERİMİN KÖKÜ

Bir terimin “m.” Kuvvetten kökünün tekrar “n.” Kuvvetten kökü, bu terimin (m.n) inci kuvvetten köküne eşittir. nÖx in tekrar “m.” Kuvvetten kökü: mÖnÖx =m.nÖx dir. Bu eşitliğin doğruluğunu gösterelim:

mÖnÖx=(nÖx)1/m =nÖx1/m =(x1/m)1/n =x1/m.n =m.nÖx olur.

Öyleyse, mÖnÖx =m.nÖx tir.

Örnekler:
3Ö4ÖÖa3 =3Ö4.2Öa3 =3Ö8Öa3 =24Öa3 =8Öa
4Ö5Ö53Ö52 =4.2.3Ö(52)3.53.52 =24Ö56.53.52 =24Ö511 bulunur.



KÖKLÜ İFAELERİN ÇARPILMASI

Kök kuvvetleri aynı olan ifadelerin çarpımı, bu ifadelerin çarpımının aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b ÎR+ ve n ÎN+ ise nÖa.nÖb =nÖa.b dir.
İspat: nÖa.nÖb =nÖa.b dir. eşleniğinin her iki yanının n. Kuvvetini alalım.
(nÖa.nÖb)n =(nÖa.b)n Þ(nÖa)n.(nÖb)n =a.b ve (nÖa.b)n =nÖan.bn =a.b dir.

Örnek: 3Ö2a. 3Ö4a2 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: 3Ö2a.3Ö4a2 =3Ö2a.4a2 =3Ö8a3 =3Ö23a3 =3Ö(2a)3=2a dır.

Teorem: x,y ÎR+, m,n,k ÎZ+ olmak üzere 1. nÖxm =n.kÖxm.k 2. nÖxm=n/kÖxm/k
3.mÖx.nÖy=m.nÖxn.m.nÖym=m.nÖxn.ym 4. mÖx/nÖy=m.nÖxn/m.nÖym=m.nÖxn/ym dir.

kök kuvvetleri farklı olan köklü ifadeleri çarpmak için önce kök kuvvetleri eşitlenir sonra çarpma işlemi yapılır.


KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİ

Kök kuvvetleri aynı olan köklü iki ifadenin bölümü, bu ifadenin bölümlerinin aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b ÎR+ ve nÎN+ ise nÖa/nÖb =nÖa/b ir.
İspat: her iki tarafın n. Kuvvetten kökünü alalım:
(nÖa/nÖb)n =(nÖa/b)n Þ (nÖa)n/(nÖa)n =a/b Þa/b=a/b dir.

örnek:
Ö18a5/Ö2a3 =Ö18a5/2a3 =Ö9a2 =3a dır.
3Ö54a4b5/3Ö2ab2 =3Ö54a4b5/2ab2 =3Ö27a3b3 =3ab dir