Olasılık

Olasılık



OLASILIK


ÖRNEK UZAY ve ÖRNEK NOKTA

Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay (E), bu kümenin her elemanına da “örnek nokta” denir.

ÖRNEK:
Bir madeni para atıldığında örnek uzayın iki elemanı vardır.

E= {Yazı,Tura}={Y,T}

ÖRNEK:
2 madeni para atılması deneyinde örnek uzay E={YY,YT,TY,TT}

UYARI
N tane madeni paranın havaya atılması (veya bir paranın n kez atılması) deneyinde s(E) = 2.2.....2= 2n dir.

ÖRNEK:
İçerisinde 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele üç top seçme deneyinde örnek uzayın eleman sayısını bulalım.


ÇÖZÜM
Torbada: 4+3+2=9 top vardır. 9 toptan 3’ü seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı:
S(E)= C(9,3) = 9.8.7 = 84 bulalım
1.2.3
ÖRNEK:
1,2,3,4,5 rakamları ile yazılabilecek üç basamaklı sayılar yazma deneyinde örnek uzayın eleman sayısı S(E) = 5.5.5 = 125 dir.

OLAY: Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.

KESİN OLAY: Olması kesin olan olaylara denir. Yani olay kümesi, örnek uzay kümesine eşit olan olaylardır.

İMKANSIZ OLAY: Olması mümkün olmayan olaydır.

ÖRNEK:

1. İki madeni para atılması deneyinde en az bir tura gelmesi olayı;
A = {TT,TY,YT} olur.
2. İki zarın havaya atılması deneyinde üste gelen sayıların
i) Aynı olması olayı A olsun.
A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
ii) Toplamının 5 olması olayı B olsun
B = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} dır.
iii) Toplamının 14 olması imkansız olaydır.
iv) Birinin 7’den küçük, diğerinin 0’dan büyük olması olayı kesin olaydır.

OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi K olsun.

P:K [0,1]
A P(A) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyor ise P fonksiyonuna “olasılık fonksiyonu” denir.

1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P() = 0 (imkansız olay)
3) P(E) = 1 (kesin olay)
4) P(A’) : A olayının olmama olasılığı ise ve
P(A) = 1-P(A’) dir.

EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY

Yapılan bir deneyde bütün çıkabilenlerin olasılıkları eşit ise “eş olumlu örnek uzay” denir.

P(A) = s(A) = İstenen durumlar sayısı dır.
s(E) Tüm durumlar sayısı

ÖRNEK:

i) Bir madeni para atılması deneyinde yazı gelmesi ile tura gelmesi olasılıkları eşittir.

P(Y) = P(T) = 1 dir.
2
ii) Bir zar atılması deneyinde 1 gelme olasılığı ile 2,3,4,5 ve 6 gelme olasılıkları eşittir.


AYRIK OLAYLAR

Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya “ayrık olaylar” denir. A ve B ayrık iki olay ise A veya B den en az birinin ortaya çıkma olasılığı, bu iki olayın olasılıkları toplamına eşittir.
P(AB) = P(A) + P(B) dir.

ÖRNEK:

Bir zar atıldığında
Tek sayı gelme olayı: A = (1,3,5)
Çift sayı gelme olayı: B = (2,4,6)
Asal sayı gelme olayı C = (2,3,5) olsun.
Buradan :

1) A  B = (1,3,5)  (2,4,6) =  olduğundan A ve B ayrık olaylardır
2) A  C = (1,3,5)  (2,3,5) = (3,5) olduğundan ayrık olaylar değildir.
NOT: A ve B ayrık olaylar değil ise
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A  B) dir.

ÖRNEK :
Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktadır. Bu kutudan

a) Çekilen bir topun siyah olma olasılığı :

P(S) = Siyah top sayısı = 5 bulunur.
Toplam top sayısı 9

b) Çekilen iki topun ikisinin de beyaz olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: 4 beyaz toptan 2 tanesini çekmek s 4 = 6 dir.
2

Tüm durumlar sayısı : Toplam 9 toptan 2 tanesini çekmek s(E) = 9 = 36 dir.
2
Sonuç olarak : P(A) = s(A) = 6 = 1 dır.
S(E) 36 6

c) Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: s(A) = 5 4 = 20 dır.
1 1
P(A) = s(A) = 20 = 5 olur.
s(E) 36 9

d) Çekilen iki toptan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olasılığını bulalım. Buradan sıralama verilmektedir. Birincinin siyah olma olasılığı = 5 dır. Kalan top
9
sayısı 9 – 1 = 8 olduğuna göre ikincinin beyaz olma olasılığı = 4 dir.
8
Sonuç olarak:
P(BS) = 5 . 4 = 5
9 8 18

ÖRNEK:
İçinde 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan çekilen bilye tekrar torbaya atılmak üzere iki bilye çekiliyor.

a) Çekilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı olma olasılığı
b) Çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı

c) Çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı
d) Çekilen iki bilyeden birincisinin kırmızı ikincisinin beyaz olma olasılığı kaçtır?


ÇÖZÜM:

a) P(KK) = 5 . 5 = 25 dır.
8 8 64
b) P(KS) + P(SK) = 6 . 4 + 4 . 6
10 10 10 10
= 48 = 12
100 25
c) P(KK) + P(BB) = 6 . 6 + 4 . 4
10 10 10 10
= 52 = 13
100 25
d) P(KB) = 6 . 4 = 24 = 6
10 10 100 25

ÖRNEK:

Bir torbada bulunan 6 beyaz 5 kırmızı ve 4 siyah bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen 3 bilyenin
a) Üçününde beyaz olma olasılığı
b) Üçününde aynı renkte olma olasılığı
c) Üçününde farklı renkte olma olasılığı
d) 1. nin beyaz, 2. nin kırmızı ve 3. nün siyah olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

6+5+4 = 15 bilyeden 3’ü C(15,3) = 455 değişik şekilde seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 455’tir.
a) Seçilen üç bilyenin üçünün de beyaz olma olayı A olsun.
6 beyaz bilyeden 3’ü C(6,3) = 20 değişik şekilde seçileceğinden s(A) = 20 dir.
P(A) = s(A) = 20 = 4 bulunur.
S(E) 455 91
b) Üçününde aynı renkte olma olayı B olsun.
6 beyazdan, 3 beyaz: C(6,3) = 20
5 kırmızıdan, 3 kırmızı: C(5,3) =10
4 siyahtan, 3 siyah: C(4,3) = 4 değişik şekilde seçileceğinden, aynı renkli 3 bilye 20+10+4 = 34 farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre
P(B) = s(B) = 34
S(E) 455
c) Seçilen her 3 bilyeninde farklı renklerde olma olayı C olsun.

6 beyazdan biri C(6,1)
5 kırmızıdan biri C(5,1) s(C) = C(6,1).C(5,1).C(4,1)
4 siyahtan biri C(4,1) =6.5.4 = 120
ise s(C) = 120 = 24
s(E) 455 91

d) Bu soruda sıralama vardır.
Birincinin beyaz olma olasılığı : 6
15
İkincinin kırmızı olma olasılığı : 5
14
Üçüncünün siyah olma olasılığı : 4
13
P(D) = 6 . 5 . 4 = 4
15 14 13 91

ÖRNEK:
3 kadın ve 4 erkekten oluşan bir komitenin üyelerinin adları birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele çekilen 3 kartın birinde bir kadının diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
Torbadan 3 kart çekildiğinde, çekilenlerin kümesi örnek uzay E ise
s(E) =C(7,3) = 35 tir.

Çekilen 3 karttan birinde bir kadın diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olayı A olsun.

S(A) = s(A) = 18 bulunur.
s(E) 35
ÖRNEK:

3 madeni para atılıyor. Bu atışta en az bir tura gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
E = { YYY,YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
Ve en az bir tura gelmesi
A = {YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
P(A) = 7 dir.
8

Veya : En az bir tura gelmesini hiç yazı gelmemesi şeklinde de ifade edebiliriz.

P(A) = 1 – P(YYY) = 1 – 1 = 7 dır.
8 8

ÖRNEK:
A = {1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile farklı 3 basamaklı sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp torbaya konuyor.
Torbadan rastgele çekilen bir karttaki sayının tek olma olasılığı kaçtır?





ÇÖZÜM:
Rakamları farklı 3 basamaklı tüm sayılar

s(E) = 5 . 4 . 3 = 60 tanedir.

Bunlardan tek sayı olanları

s(A) = 3 4 3 = 36 tanedir.

P(A) = s(A) = 36 = 3 dir.
s(E) 60 5

ÖRNEK:
Bir sınava giren A,B,C isimlerinden oluşan 3 öğrenciden A’nın sınavı kazanma olasılığı B’nin kazanma olasılığının 2 katı, B’nin sınavı kazanma olasılığı ise C’nin kazanma olasılığının 2 katı olduğuna göre A’nın sınavı kazanma olasılığı
3
nedir?

ÇÖZÜM:
P(A) = 2P(B) ve P(B) = 2 . P(C) dir
3

2.P(B) + P(B) + 3P(B) = 1 ise P(B) = 2
2 9

ve P(A) = 2P(B) = 2.2 = 4 bulunur.
9 9

KOŞULLU OLASILIK

A,B;E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir ve

P(A / B) ile gösterilir.

P(A / B) = P(A  B) , P(B)  
P(B)

ÖRNEK:
Bir çift zarın birlikte atılması deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği bilindiğine göre, toplamının 10’dan büyük olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:
İki zarın atılması deneyinde örnek uzay;
E = {(1,1), (1,2),... (6,5), (6,6)} yani
s(E) = 36 dır.
B = {(5,1), (1,5), (5,2), (2,5), ... (5,6)} yani
s(B) = 11 dir.
A = {(5,6),(6,5)} ise s(A) = 2 ve A  B = {(5,6),(6,5)} Buna göre,

s(A  B)
s(E)
P(A / B) = P(A  B) = = s(A  B) = 2
P(B) s(B) s(B) 11
s(E)

ÖRNEK:

1’den 10’a kadar (10 top) numaralandırılmış, aynı özellikteki toplar arasından rastgele çekilen bir topun asal sayı olduğu bilindiğine göre, çift sayı olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ise s(E) = 10
B = {2,3,5,7} ise s(B) = 4
A = {2} ise s(A) = 1
Buna göre;

s(A  B)
s(E)
P(A / B) = P(A  B) = = 1
P(B) s(B) 4
s(E)
ÖRNEK:
25 kişilik bir sınıfta fizik dersinden geçen 10 kişidir. Matematik ve fizik derslerinden her ikisinden geçen 3 kişidir. Her iki dersten kalan ise 10 kişidir. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin matematikten geçtiği bilindiğine göre fizikten de geçmiş olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:
Yukarıdaki ifadeye göre şema çizilirse;


E M F


5 3 7


10


P(F/M) = P(F M) = 3 bulunur.
P(M) 8



SONSUZ ÖRNEK UZAYLI OLAYLAR:

Örnek uzay E, E = {e1,e2,e3,....} gibi sayılabilir sonsuzlukta örnek uzay olsun. Aynı şekilde olay A = {a1,a2,a3,...} gibi sayılabilir sonsuzlukta bir olay ise,
P(A) = s(A) dir.
S(E)

Örnek uzay bir şeklin alanı, uzunluğu gibi sayılabilir sonsuzlukta ifadelerdir. Aynı şekilde olay kümesi de bu örnek uzayın herhangi bir kesiti ise olasılık yukarıda ifade edildiği gibi,

P(A) = A nın uzunluğu ya da
E nin uzunluğu

P(A) = A nın alanı biçiminde hesaplanır.
E nin alanı

ÖRNEK:

Bir çemberin içerisinde rasgele seçilen bir noktanın çemberden çok merkezine yakın olma olasılığı kaçtır?




r


B
O r/2


A


ÇÖZÜM:
O merkezli büyük çemberin yarıçapına r dersek, küçük çemberin yarıçapı da r olur. 2
Rasgele işaretlenen noktanın B bölgesi olması istendiğine göre,
Örnek uzay: A + B bölgelerinin alanları toplamıdır.
Olay: B bölgesinin alanıdır.
Buna göre olasılığı ise,
2
1 r r2
B nin alanı = 2 .p = 4 = r2 = 1
(A+B) alanı p.r2 r2 4r2 4



OLASILIK TEORİSİ



Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır.

‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’ ise kesini simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir. Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır. Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım.

TEMEL KAVRAMLAR

Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme:

Raslantısal deney ya da kısaca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir. Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz. Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur.

Raslantısal deney raslantısal denemelerden oluşur. Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir. Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir. Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney – deneme kavramları denk olur.

Sonuç:

Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adlandırılır. Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17. Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2. Denemesinde sonucu ‘’Tura’’, parçaların kontrolü deneyinin 17. Denemesinin sonucu ‘’Defolu’’ olarak gerçekleşmiş denilecektir.

Örnek Uzay:

Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme örnek uzay olarak adlandırılır.

Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , ...., (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }. Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir. Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır.
Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir. S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,...} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise sürekli olarak düşünülecektir.

Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır. Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim. Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir. Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs.) bağlı olarak her değeri alabilir. Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X | 0 < X <  } olacaktır. Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir. Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin. Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin. Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,...,} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır.

Olay:

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Örneğin
bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}’ in
alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }
kümeleri birer olayı gösterebilir. Sözlerle ifade edilirse A1
olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı
ise zarın 3’ ten küçük bir sayı gelmesi olabilir.





Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler.

Uygulama: Hilesiz bir para üç kere atılsın. Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda.

En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim. S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır.


Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar. Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir.

• A1  A2 : A1’ in veya A2’ nin veya her ikisinin
De gerçekleşmesi olayıdır.



• A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de
Gerçekleşme olayıdır.








• At1: A1’ in tümleyeni olarak adlandırılacak
Bu olay A1’ in gerçekleşmemesi olayıdır.








• A1 \ A2 : A1’ in gerçekleşmesi ve A2 ‘ nin
Gerçekleşmemesi olayıdır.












Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir. Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 =  olduğu için ayrıktırlar. Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz. Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır.










Uygulama : A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın.

A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}

A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve A\B olaylarını yazınız.

Çözüm:

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}

A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} A\B= {a, b, c}


OLASILIĞIN TANIMLARI

Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz. Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım.

KLASİK YAKLAŞIM


S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin. A olayının gerçekleşme olasılığı P (A), bu yaklaşımda

P (A) = n(A) / n (S)

Olarak tanımlanır.

Uygulama: Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4’ ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm :

Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre

P (A) = 2 / 6

Olacaktır.

Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır. Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur. Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır.

Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir. Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır. Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür. Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar. Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur. Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır.) için bu durum sakınca yaratmaz. Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar. Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz. Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır. S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir. Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz} . Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır.


FREKANS TANIMI

Klasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır. Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez. Diğer bir deyişle olasılıklar önsel (a priori) verilir. Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır. Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n (A) kez tura gelirse n(A)/n oranını yani tura sayılarının frekans oranını tura gelme olasılığı kabul edebiliriz. Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n (A)/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz.

Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı

P (A) = lim n(A)/ n
n


olarak tanımlanabilir. Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n (A) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir. Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir.

Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı

P (A) = 1/6  0,1667

Olacaktır.

Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz. Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir. Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar. Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez. Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır.

Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır. Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır. İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur.


SÜBJEKTİF TANIM


Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir sayıdır. Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler.

Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur. Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler.

Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler. Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir. Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir. Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak,

P (A) / 1-P (A) = 3 / 1

Eşitliğini yazabiliriz. Buradan P (A)

P (A) = 3 – 3P (A)  P(A) = ¾

Olur. Öyleyse A’ ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise,

P (A) / 1 – P (A) = X / Y

Eşitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı

P (A) = X / X+Y

Olarak elde edilebilir. Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık:

P (A) = A’ ya verilen şans / Toplam şans


Olarak tanımlanabilir. verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir. Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir.




OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

• Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)
• Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)
• Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer). Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler.

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs. ile matematiksel yapı oluşturulur. Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür. Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır.

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun. Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

1. P( A )  0
2. P( S ) = 1
3. S örnek uzayı A1, A2,.....An,...... ayrık olaylarından oluşuyor ise;

P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...

Eşitliği yazılabilir. A olayının olasılığı P (A) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir.


Uygulama:

A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım.

(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12

(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4

(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5

Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır.

(a) Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1)  0) sağlanır. Toplamlar 1’ i verdiği için ikinci aksiyom ( P (S)= 1)sağlanır. Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır. Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır.

(b) Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1’ den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir.

(c) P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçersizdir.

Bazı Önemli Teoremler:

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun. P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir. Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir.


Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 – P (A)

Teorem 2: P (  ) = 0

Teorem 3: A1  A2 ise P (A1)  P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır.

• (Boole eşitsizliği): P(A1 U A2)  P(A1) + P(A2)

4. teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise

n n
PUAi =  P(Ai)
i=1 i=1


Olarak yazılabilir.

Teorem 5: 0  P (A)  1

Teorem 6: P (A) = P (AB) + P (ABt)